Sexta, 16 Março 2018 18:21

QUESTÕES PUC-RIO - CALCULANDO A MATRIZ

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No tópico de hoje veremos como calcular potência com expoente, essa foi uma questão amplamente debatida no forum PUC-Rio.

Sendo a matriz A, calcule A elevado ao expoente 2003

Reescreva A = A^1 como:

1/2 -raiz(3)/2
2 * =
raiz(3)/2 1/2
cos(Pi/3) -sen(Pi/3)
2 *
sen(Pi/3) cos(Pi/3)

Façamos a seguinte hipótese de indução:

cos(n*Pi/3) -sen(n*Pi/3)
A^n = 2^n *
sen(n*Pi/3) cos(n*Pi/3)

Assim, calculando A^(n+1) = A * A^n e usando as fórmulas para sen(x +/- y) e cos(x +/- y), chegamos a conclusão de que:

cos((n+1)*Pi/3) -sen((n+1)*Pi/3)
A^(n+1) = 2^(n+1) *
sen((n+1)*Pi/3) cos((n+1)*Pi/3)

ou seja, A^n tem a forma acima para todo n natural.

Logo, fazendo n = 2003 na expressão para A^n, temos:

cos(2003*Pi/3) -sen(2003*Pi/3)
A^2003 = 2^2003 *
sen(2003*Pi/3) cos(2003*Pi/3)

Subtraindo 333*(2*Pi) = 666*Pi = 1998*Pi/3 de 2003*Pi/3, mantemos os senos e cossenos iguais, logo:

cos(5*Pi/3) -sen(5*Pi/3)
A^2003 = 2^2003 * =
sen(5*Pi/3) cos(5*Pi/3)

1/2 raiz(3)/2
= 2^2003 *
-raiz(3)/2 1/2

1 raiz(3)
= 2^2002 *
-raiz(3) 1

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00538.html

Ler 241 vezes Última modificação em Quarta, 11 Abril 2018 20:40

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