Problema:
Quinze moedas de mesmo diâmetro são dispostas formando um triângulo equilátero. As faces de cada uma dessas moedas são pintadas de branco ou de preto. Prove que, qualquer que seja a pintura, existem três moedas de mesma cor cujos centros são vértices de um triângulo equilátero.
Solução:
Eu consegui provar que bastam 10 moedas - também dispostas formando um triângulo equilátero.
Infelizmente, a demonstração não usa nenhuma "sacada brilhante", mas consiste apenas de uma análise exaustiva (nos dois sentidos) das alternativas, eu recomendo fortemente o uso de papel e lápis.
Considere a seguinte disposição das moedas:
(01)
(02) (03)
(04) (05) (06)
(07) (08) (09) (10)
Se (01), (07) e (10) forem da mesma cor, então acabou.
Caso contrário, podemos supor s.p.d.g. (sem perda de generalidade) que (01) é preta e (07) e (10) são brancas.
Se (02) e (03) forem ambas pretas, então (01), (02) e (03) serão pretas.
Suponhamos s.p.d.g. que (03) seja branca.
Consideremos, separadamente, os dois casos seguinte:
- (02) é branca;
- (02) é preta.
(o caso em que (02) é branca e (03) é preta será a imagem especular do caso em que (02) é preta e (03) branca)
- (02) é branca:
Se (08) ou (09) for branca, então (02), (07) e (09) serão brancas ou (03), (08) e (10) serão brancas.
Suponhamos que (08) e (09) sejam ambas pretas.
Nesse caso, se (05) for branca, então (02), (03) e (05) serão brancas
acabou
Por outro lado, se (05) for preta, então (05), (08) e (09) serão pretas
acabou
Assim, se (02) for branca, sempre haverá um triângulo monocromático.
- B) (02) é preta:
Se (08) for branca, então (03), (08) e (10) serão brancas
acabou
Suponhamos que (08) seja preta.
Se (06) for preta, então (02), (06) e (08) serão pretas
acabou
Suponhamos que (06) seja branca.
Se (05) for branca, então (03), (05) e (06) serão brancas
acabou
Suponhamos que (05) seja preta.
Se (09) for branca, então (06), (09) e (10) serão brancas
acabou
Por outro lado, se (09) for preta, então (05), (08) e (09) serão pretas
acabou.
Portanto, no caso em que (02) é preta também estará assegurada a existência de um triângulo monocromático..
Confira essa discussão em: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00522.html
