Quarta, 14 Março 2018 19:58

QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS

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 Uma questão debatida no forum da PUC-Rio sobre um problema de um triângulo equilátero muito interessante e que vale a pena relembrar.

Problema:

Quinze moedas de mesmo diâmetro são dispostas formando um triângulo equilátero. As faces de cada uma dessas moedas são pintadas de branco ou de preto. Prove que, qualquer que seja a pintura, existem três moedas de mesma cor cujos centros são vértices de um triângulo equilátero.

Solução:

Eu consegui provar que bastam 10 moedas - também dispostas formando um triângulo equilátero.

Infelizmente, a demonstração não usa nenhuma "sacada brilhante", mas consiste apenas de uma análise exaustiva (nos dois sentidos) das alternativas, eu recomendo fortemente o uso de papel e lápis.

Considere a seguinte disposição das moedas:

            (01)

        (02) (03)

    (04) (05) (06)

(07) (08) (09) (10)

 

Se (01), (07) e (10) forem da mesma cor, então acabou.

Caso contrário, podemos supor s.p.d.g. (sem perda de generalidade) que (01) é preta e (07) e (10) são brancas.

Se (02) e (03) forem ambas pretas, então (01), (02) e (03) serão pretas.

Suponhamos s.p.d.g. que (03) seja branca.

Consideremos, separadamente, os dois casos seguinte:

  1. (02) é branca;
  2. (02) é preta.

(o caso em que (02) é branca e (03) é preta será a imagem especular do caso em que (02) é preta e (03) branca)

  1.  (02) é branca:

Se (08) ou (09) for branca, então (02), (07) e (09) serão brancas ou (03), (08) e (10) serão brancas.

Suponhamos que (08) e (09) sejam ambas pretas.

Nesse caso, se (05) for branca, então (02), (03) e (05) serão brancas

acabou

Por outro lado, se (05) for preta, então (05), (08) e (09) serão pretas

acabou

Assim, se (02) for branca, sempre haverá um triângulo monocromático.

  1. B) (02) é preta:

Se (08) for branca, então (03), (08) e (10) serão brancas

acabou

Suponhamos que (08) seja preta.

Se (06) for preta, então (02), (06) e (08) serão pretas

acabou

Suponhamos que (06) seja branca.  

Se (05) for branca, então (03), (05) e (06) serão brancas

acabou

Suponhamos que (05) seja preta.

Se (09) for branca, então (06), (09) e (10) serão brancas

acabou

Por outro lado, se (09) for preta, então (05), (08) e (09) serão pretas

acabou.

Portanto, no caso em que (02) é preta também estará assegurada a existência de um triângulo monocromático..

Confira essa discussão em: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00522.html

Ler 77 vezes Última modificação em Quarta, 11 Abril 2018 20:39
Antonio Claudio Lage Buffara

Me descrevo com um engenheiro, empresário e investidor mas com alma de matemático.

O blog é direcionado especialmente aos professores e estudantes de matemática. Tratará não só da matemática em si mas também do ensino da matemática, desde a escola (ensino fundamental) até a universidade.

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