Quinta, 13 Setembro 2018 19:43

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - OUTRA SÉRIE DIVERGENTE

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Hoje iremos falar sobre divergente, mais uma questão publicada e resolvida na lista PUC-RIO.

DÚVIDA 

Eu gostaria de alguma sugestão para provar o seguinte (talvez haja uma saída simples):

Seja a_n uma sequência de números positivos tal que Soma(n>=1) a_n divirja.

Então, Soma(n>=1) (a_n)/(1+a_n) também diverge.

Se lim a_n >0, então é fácil ver que lim (a_n)/(1+a_n) >0, de modo que a série diverge.

Mas se lim a_n = 0 ou não existir, então a conclusão não é tão simples, acho que por ai não é uma boa saída.

SOLUÇÃO

Pondo s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n, sabemos que se SOMA a_n diverge, então SOMA (a_n/s_n) também diverge.

Como s_n -> +infinito, existe n_0 tal que n > n_0 ⇒ a_1 + a_2 + ... + a_(n-1) = s_(n-1) > 1 ⇒ s_n > 1 + a_n.

Assim, n > n_0 ==> a_n/(1 + a_n) > a_n/s_n.

Como SOMA (a_n/s_n) diverge, SOMA a_n(1+a_n) também diverge.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200507/msg00011.html

 

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