Sexta, 07 Setembro 2018 22:22

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - VALOR INTERMEIO

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Hoje compartilharei alguns problemas publicados na lista PUC-RIO.


PROBLEMAS


Alguns problemas:

1-Dados 2n+2 pontos no plano de modo que não existem 3 colineares, demonstrar que existe uma reta que passa por dois deles e deixá n pontos de cada lado.

Este problema eu sei resolver.

2-Dado um polígono convexo e um ponto P no seu interior, demonstrar que existem dois pontos A e B nos bordes do polígono, tais que o ponto médio deles é P. Este eu sei resolver.

3- Dado um conjunto de 2n+3 pontos no plano de modo que não existam 4 que pertençam à mesma circunferência, demonstrar que existe uma circunferência que passa por 3 deles e deixá n pontos no seu interior. Não tenho a mínima ideia como se resolve.

SOLUÇÃO

Aqui vale alguns comentários: 1) o centro de uma circunferência que passa por A e B está na mediatriz de A e B. Além disso, o raio dela é sempre maior ou igual a r_0 onde r_0 = d(A,B)/2. Desse modo o argumento de “ir diminuindo o número de pontos dentro da circunferência” me parece um pouco simplificado.

Como há apenas um número finito de pontos e nenhuma circunferência passa por mais do que três deles, eu acho que o argumento original, apesar de simplificado e talvez excessivamente informal, está correto.

Porém a idéia central está correta. Deve-se pensar que existe um caminho contínuo de circunferências (basta escolher um caminho de centros sobre a mediatriz de forma que no início todos os pontos estão dentro dela e no final nenhum ponto está. Daí pode-se concluir que “em algum instante no meio do caminho” tem-se uma circunferência que contém apenas n pontos. E a construção desse caminho não é complicada.

2) Deve-se assumir também que não há 3 pontos colineares, que é usado no início demonstração.

Concordo. Esta hipótese não está contida no enunciado. Aliás, o enunciado está incompleto no sentido de que se os 2n+3 pontos pertencerem a uma única reta, então nenhuma circunferência passará por 3 deles.

3) Dado um conjunto de 2n+3 pontos no plano de modo que não existam 4 que pertençam à mesma circunferência, demonstrar que existe uma circunferência que passa por 3 deles e deixá n pontos no seu interior.

Trace a reta por 2 pontos (digamos, A e B) tais que todos os outros estejam num único semi-plano determinado por ela. Esta reta pode ser interpretada como uma circunferência de raio infinito. Em outras palavras, existe um número positivo R_0 tal que se R > R_0, então existe uma circunferência de raio R, passando por A e B, é tal que todos os demais 2n+1 pontos estão em seu interior. Comece a reduzir o raio desta circunferência. Segundo o enunciado, para cada valor do raio, a circunferência irá passar por, no máximo, um dos outros 2n+1 pontos. Assim, quando a circunferência passar por um dos pontos e contiver exatamente n pontos no seu interior, pare. Esta será a circunferência desejada.

Confira a discussão completa em: 

http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200507/msg00083.html e http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200507/msg00068.html

Ler 40 vezes Última modificação em Sábado, 08 Setembro 2018 02:57

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