Quinta, 06 Setembro 2018 21:59

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO CONVERGÊNCIA DA SEQUÊNCIA DAS DERIVADAS

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Mais uma dúvida interessante publicada na lista PUC-RIO que postarei hoje.

DÚVIDA

Seja f_n uma sequência de funções definidas e diferenciáveis em um intervalo I de R. Suponhamos que a sequência das derivadas f'_nconverge uniformemente em I para uma função g. Há um teorema que diz que, se a sequência de número reais f_n(u) convergir para algum u de I, então f_n converge uniformemente em I para uma função f tal que f' = g em I. Esta última condição é realmente essencial? Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já podemos então fazer alguma inferência quanto a convergência das primitivas?

Se adicionarmos a hipótese de as f'_n são contínuas, temos então alguma conclusão interessante, além de que g é contínua?

Eu acho que há um teorema que se refere ao caso em que as f'_n são Lipschitz, mas nao sei qual é.

SOLUÇÃO

Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por:

f_n(x) = x + (-1)^n

Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge.

Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge.

Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já podemos então fazer alguma inferência quanto a convergência das primitivas?

Não, conforme o exemplo acima.

Se adicionarmos a hipótese de as f'_n são contínuas, temos então alguma conclusão interessante, além de que g é contínua?

Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u.

Eu acho que há um teorema que se refere ao caso em que as f'_n são Lipschitz, mas não sei qual é.

Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200508/msg00167.html

Ler 48 vezes Última modificação em Quinta, 06 Setembro 2018 22:37

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