Sexta, 31 Agosto 2018 15:10

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - IDEMPOTÊNCIA

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A dúvida que compartilharei hoje foi uma questão sobre idempotência publicada na lista PUC-RIO.

 DÚVIDA

Gostaria de saber como calculo os idempotentes (x*x =x) dos seguintes anéis:

Z/(pq) e Z/(pq*q)

Obs.: Exercício do Livro do Miles Reid (álgebra comutativa...)

SOLUÇÃO

Supondo que p e q sejam primos distintos, teremos:

x^2 == x (mod pq) <==> 

x(x - 1) == 0 (mod p) e x(x - 1) == 0 (mod q) <==>

x == 0 ou x == 1 (mod p) e x == 0 ou x == 1 (mod q)

Agora é só usar o TCR e resolver os quatro sistemas de congruências resultantes. É trivial ver que x = 0 e x = 1 são soluções de dois deles.

Os dois restantes são:

x == 0 (mod p)

x == 1 (mod q)

e

x == 1 (mod p)

x == 0 (mod q)

Por exemplo, em Z/(15), os idempotentes são 0, 1, 6 e 10, onde:

6 == 0 (mod 3) e 6 == 1 (mod 5)

e

10 == 1 (mod 3) e 10 == 0 (mod 5)

Para o outro anel você faz do mesmo jeito, pois:

x^2 == x (mod q^2) <==>

x(x - 1) == 0 (mod q^2) <==> q^2 | x ou q^2 | x - 1 uma vez que x e x-1

são primos entre si <==> x == 0 ou x == 1 (mod q^2).

Leia mais em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200509/msg00402.html

Ler 11 vezes Última modificação em Segunda, 03 Setembro 2018 15:18

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