Segunda, 27 Agosto 2018 20:31

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - EQUAÇÕES DIOFANTINAS

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Hoje publicarei uma dúvida bem interessante compartilhada na lista PUC-RIO. Confira a explicação detalhada.

DÚVIDA

Alguém poderia me dar alguma dica sobre como resolver essas equações diofantinas

1/a + 1/b + 1/c = 1

x^3 + 3 = 4y(y+1)

SOLUÇÃO

Suponhamos inicialmente que:

0 < a <= b <= c.

Nesse caso,

a <= 3, pois se a >= 4

então:

1/a + 1/b + 1/c <= 1/a + 1/a + 1/a <= 3/4.

a = 2 ==> 1/b + 1/c = 1/2 ==> (b,c) = (3,6) ou (4,4)

Não há outras soluções pois se b > 4, então 1/b + 1/c < 1/2.

a = 3 ==> 1/b + 1/c = 2/3 ==> (b,c) = (3,3)

Não há outras soluções pois se b > 3, então 1/b + 1/c < 2/3.

Se a < 0 < b <= c, então 1/b + 1/c = 1 - 1/a > 1.

Mas 1/b + 1/c > 1 <==> b = 1 <==> c = -a.

Assim, as únicas soluções são da forma:

(a,b,c) = (-n,1,n) com n inteiro positivo.

Se a <= b < 0 < c, então 1/c = 1 - 1/a - 1/b > 1 ==> impossível.

Assim, supondo que a <= b <= c, as soluções (a,b,c) são:

(2,3,6), (2,4,4), (3,3,3) e (-n,1,n) com n inteiro positivo.

As demais soluções são obtidas permutando a, b e c.

x^3 + 3 = 4y(y+1) ==>

x^3 + 4 = 4y^2 + 4y + 1 = (2y + 1)^2 ==>

x^3 = (2y + 1)^2 - 2^2 = (2y - 1)(2y + 3)

Mas mdc(2y - 1,2y + 3) = mdc(2y - 1,4) = 1 ==>

2y - 1 e 2y + 3 são ambos cubos perfeitos ímpares que diferem de 4 ==> contradição, pois dois cubos perfeitos ímpares diferem de pelo menos 26 (=3^3 - 1^3)

Logo, esta equação não tem solução.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200510/msg00112.html

Ler 34 vezes Última modificação em Segunda, 27 Agosto 2018 20:38

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