Sexta, 24 Agosto 2018 18:57

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - FUNÇÃO DE LIPSCHITZ

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Hoje demonstraremos alguns problemas sobre funções de Lipschitz, publicados na lista PUC-RIO.

DÚVIDA

Eu acho esses problemas sobre funções de Lipschitz bonitinhos:

(1) - seja D um subconjunto de R^n e f:D => R^m Lipschitz em D.

Mostre que:

(a) Existe uma menor constante de Lipschitz associada a f em D

(b) Se K é esta menor constante, então, para todo eps >0, existem x1 e x2<>x1 em D tais que

||f(x2) - f(x1|/|x2 - x1| - K| < eps

(c) Se K é constante de Lipschitz de f em D e existirem x1<>x2 em D tais que |f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1|, então K é a menor constante de Lipschitz de f em D. A recíproca é verdadeira?

(2) Sejam I um intervalo de R e f:I => R derivável em I. Então, f é Lipschitz em I se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que K =supremo {|f'(x)| | x está em I} é a menor constante de Lipschitz de f em I.

Lembrando, f é Lipschitz em D se existir uma constante K>0 tal que |f(x2) - f(x1)| <= K*|x2 - x1| para todos x1 e x2 de D. É imediato que se K for constante de Lipschitz, então todo K' > K também é.

SOLUÇÃO

Se |f'(x)| <= M para todo x em I, então, dados x < y em I, pelo TVM existirá z tal que x < z < y e |f(y) - f(x)| = |f'(z)|*|y - x| <= M*|y - x| ==> f é Lipschitz em I com constante M

Reciprocamente, se f é Lipschitz em I com constante K, então, dado a em I, para todo x em I - {a} teremos - K <= (f(x) - f(a))/(x - a) <= K ==>

-K <= lim(x -> a) (f(x) - f(a))/(x - a) <= K (limites laterais se a for um dos extremos de I) ==> -K <= f'(a) <= K ==> |f'(a)| <= K. Como a é qualquer, o resultado segue.

Seja K = supremo {|f'(x)| | x está em I}.

Então, pelo TVM, é claro que f é Lipschitz com constante K.

Dado L com 0 < L < K, existe a em I tal que |f'(a)| > L.

Isso quer dizer que existe delta > 0 tal que:

x pertence a I e 0 < |x - a| < delta ==> |(f(x) - f(a))/(x - a)| > L

Ou seja, |f(x) - f(a)| > L*|x - a| ==> L não é constante de Lipschitz para f.

Acho que o mais interessante desse problema é que ele ilustra uma das propriedades mais importantes e úteis dos limites: a permanência das desigualdades.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200510/msg00055.html

Ler 35 vezes Última modificação em Sexta, 24 Agosto 2018 19:29

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