Sexta, 10 Agosto 2018 18:24

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO TRIGONOMETRIA

Escrito por

Hoje vamos a resolução de uma dúvida enviada no forum PUC-RIO sobre trigonometria muito interessante!

 DÚVIDA

Olá amigos,gostaria da ajuda de vocês no seguinte problema:

Provar que:

sec^4(pi/7)+sec^4(2pi/7)+sec^4(3pi/7)= 416

SOLUÇÃO

Eu me surpreenderia bastante se a demonstração disso não usasse complexos ou polinômios. Uma ideia que me ocorre é fazer aparecer estes cossenos em algum polinômio.

Para isso, vamos considerar as raízes 7as da unidade e a seguinte fatoração macetosa de x^7 - 1:

x^7 - 1 = (x - 1)(x^2 - 2cos(2pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(4pi/7)x + 1)(x^2 - 2cos(6pi/7)x + 1).

(a demonstração é fácil: basta agrupar as raízes complexas conjugadas, ou seja, cis(2pi/7) com cis(12pi/7), cis(4pi/7) com cis(10pi/7), etc... )

Mas, cos(4pi/7) = -cos(3pi/7) e cos(6pi/7) = -cos(pi/7).

Logo:

x^7 - 1 = (x - 1) (x^2 + 2cos (pi/7) x + 1) (x^2 - 2cos (2pi/7) x + 1) (x^2 + 2cos (3pi/7) x + 1).

(x^7 - 1)/(x - 1) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 2cos (pi/7) x + 1) (x^2 - 2cos (2pi/7) x + 1) (x^2 + 2cos (3pi/7) x + 1)

De agora em diante, para simplificar, vamos fazer:

A = cos (pi/7),

B = -cos (2pi/7)

e

C = cos (3pi/7)

De forma que:

x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + Ax + 1) (x^2 + Bx + 1) (x^2 + Cx + 1) (1)

Queremos o valor de:

1/A^4 + 1/B^4 + 1/C^4 = ((AB) ^ 4 + (AC) ^ 4 + (BC) ^ 4)/(ABC) ^ 4 = Num/Den

Fazendo x = i em (1) e simplificando, obtemos a identidade:

ABC = -1/8 (2)

ou seja,

Den = (ABC)^4 = 1/4096.

Fazendo x = 1 em (1):

(1 + A)(1 + B)(1 + C) = 7/8 ==> 1 + A + B + C + AB + AC + BC + ABC = 7/8

Usando (2):

A + B + C + AB + AC + BC = 0 (3)

Fazendo x = 2 em (1) e usando (2) e (3):

(5 + 4A)(5 + 4B)(5 + 4C) = 127 ==>

125 + 100(A + B + C) + 80(AB + AC + BC) + 64ABC = 127 ==>

20(A + B + C) = 2 - 80*0 - 64*(-1/8) = 10 ==>

A + B + C = 1/2 ==>

AB + AC + BC = -1/2

Resta calcular Num = (AB)^4 + (AC)^4 + (BC)^4, o que pode ser feito em função de A + B + C, AB + AC + BC e ABC.

Confira essa discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200501/msg00466.html

Ler 43 vezes Última modificação em Segunda, 13 Agosto 2018 19:53

Deixe um comentário

Certifique-se de preencher os campos indicados com (*). Não é permitido código HTML.