Sexta, 03 Agosto 2018 12:59

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBLEMA MATEMÁTICO

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Hoje publicaremos a resolução de um probleminha matemático compartilhado na lista PUC-RIO.

DÚVIDA

Seja B um inteiro maior que 10 tal que cada um dos seus dígitos pertence ao conjunto {1, 3, 7, 9}. Demonstre que B tem fator primo maior ou igual a 11.

SOLUÇÃO

Seja B um inteiro maior que 10 tal que cada um dos seus dígitos pertence ao conjunto {1, 3, 7, 9}. Demonstre que B tem fator primo maior ou igual a 11.

B é obviamente ímpar.

Além disso, B não pode ser múltiplo de 5, pois estes terminam apenas em 0 ou 5.

Suponhamos, portanto, que B = 3^a*7^b.

Agora, pra terminar, precisamos provar o seguinte:

1) Cada potência de 3 e de 7 termina com os algarismos 1, 3, 7 ou 9;

2) O algarismos das dezenas de cada uma dessas potências é par;

3) O algarismo das dezenas do produto de uma potência de 3 por uma potência de 7 é par.

(1) é fácil - basta olhar as 4 (= Phi(10)) primeiras potências mod 10.

(2) e (3) também são fáceis - basta observar que, na tabela de multiplicação a seguir, os algarismos das dezenas são todos pares:


* | 1 3 7 9
--+----------------
1 | 01 03 07 09
3 | 03 09 21 27
7 | 07 21 49 63
9 | 09 27 63 81

Conclusão: B não pode ser da forma 3^a*7^b, o que implica que B deve ter algum fator primo maior do que 7.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200501/msg00391.html

Ler 44 vezes Última modificação em Segunda, 06 Agosto 2018 16:58

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