Sexta, 27 Julho 2018 13:55

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - CONTINUIDADE UNIFORME

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Hoje vamos a resolução de um problema interessante publicado na lista PUC-RIO.

PROBLEMA

Achei este problema interessante:

Mostre que:

se f:R ->R é contínua, periódica e não constante em R,

então

g(x) = f(x^2) não é uniformemente contínua em R.

Não é difícil mostrar isso. E com isto, concluímos como corolário aquilo que já foi aqui discutido, ou seja, g não é periódica em R.

SOLUÇÃO

Seja a > 0 o período de f. Como f é contínua, temos que lim(n -> infinito) f(x + y/n) = f(x), quaisquer que sejam x e y reais.

Como f é não-constante, vai existir b tal que:

0 < b < a/4 e |f(2*raiz(a*b) - f(0)| = 2*eps > 0

Logo,

|g(raiz(n*a) + raiz(b/n)) - g(raiz(n*a))| =

|f(n*a + b/n + 2*raiz(a*b)) - f(n*a)| =

|f(b/n + 2*raiz(a*b)) - f(0)| > eps, para n suficientemente grande.

No entanto, raiz (b/n) pode ser feito tão pequeno quanto se queira.

Ou seja, encontramos x = raiz(n*a) e y = x + raiz(b/n) tais que |x - y|

torna-se arbitrariamente pequeno enquanto |f(x) - f(y)| permanece maior do que uma quantidade positiva fixa (eps).

Logo, g não é uniformemente contínua.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200501/msg00105.html

Ler 56 vezes Última modificação em Segunda, 30 Julho 2018 12:18

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