Reza aqui no livro do Bartle and Sherbert (Intro to real analysis)
"...In adition, there are many subsets of R that are neither open nor
closed; in fact, most subsets of R have this neutral character"
Quer dizer então que é possível de certa forma enumerar todos os subconjuntos de R e contabilizar que a maior parte desses subconjuntos não é nem aberto e nem fechado? Isso pra mim me parece um pouco contra
intuitivo a priori. Os autores realmente quiseram dizer isso?
Um subconjunto aberto de R pode ser expresso, de forma única, como uma união enumerável de intervalos abertos, dois a dois disjuntos. Isso quer dizer que o conjunto A dos subconjuntos abertos de R tem a mesma cardinalidade do que R. Logo, card (A) é estritamente menor do que card (P(R)).
Como o complementar de um conjunto fechado é aberto, existe uma bijeção entre o conjunto F dos subconjuntos fechados de R e A, a qual leva um fechado X no aberto R - X. Logo, F também tem a cardinalidade de R.
Ou seja, card (P(R) - A - F) = card (P(R)) > card (A) = card (F) = card (R).
Quer dizer então que é possível de certa forma enumerar todos os subconjuntos de R.
Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200501/msg00054.html
