Segunda, 16 Julho 2018 14:39

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO PROPORÇÕES DE ÁREAS

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No tópico de hoje vamos abordar uma dúvida enviada na lista PUC-RIO sobre proporções de áreas.

QUESTÃO

Qual é a proporção ÁREA int / ÁREA ext de uma parábola dada uma função f (x) = ax^2 + bx + c 

Imagine uma função f (x) = 1 / ax^2 com a, tendendo ao infinito, nesse caso minha "parábola" seria uma reta coincidindo com o eixo x, neste caso ÁREA int / ÁREA ext seria de 50% pois a mesma área que teríamos acima do eixo x seria a mesma debaixo dele, ok, isso é polêmico pois infinito / infinito é indefinido mas visualmente podemos admitir isso, porém em qualquer situação em que 1/a em f (x) = 1/ax^2 for menor que infinito nossa proporção tem que ser menor que 50%. mas qual?

SOLUÇÃO

Que tal reformular da seguinte forma:

Sejam:

a = real positivo arbitrário mas fixo;

A = {(x,y) em R^2 | y > x^2/a};

B = {(x,y) em R^2 | y < x^2/a};

Q (b) = {(x,y) em R^2 | -b < x < b e -b < y < b} onde b > 0;

I (b) = A inter Q(b);

E (b) = B inter Q(b).

Calcule área (E(b))/área(I(b)).

Para b > a^2, teremos:

área (I(b)) = 4*b*raiz(a*b)/3

área (E(b)) = 4b^2 - 4*b*raiz(a*b)/3 ==>

área (E(b))/área(I(b)) = 3*b/raiz(a*b) - 1 ==>

lim (b -> +inf) área(E(b))/área(I(b)) = +inf ==>

lim (b -> +inf) área(I(b))/área(E(b)) = 0.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200412/msg00011.html

Ler 55 vezes Última modificação em Segunda, 16 Julho 2018 14:53

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