Segunda, 19 Fevereiro 2018 15:03

QUESTÕES PUC-RIO - UM DE GEOMETRIA

Escrito por

PROBLEMA

São dados os triângulos ABC e PQR, com medianas AD e PS , respectivamente. Valem as seguintes igualdades de Ângulos, BAD=QPS e CAD=RPS.

Prove que ABC e PQR são semelhantes. Fixemos o triângulo ABC no seu plano. Consideremos as semiretas AB e AC. Sobre elas marquemos os pontos L e M tal que AL=PQ e AM=QR. As hipóteses nos dão as congruências dos triângulos PQR e ALM (LAL). A reta suporte da mediana AD corta o segmento de reta LM num ponto K, o qual pelas hipóteses de igualdade de ângulos BAD=QPS e CAD=RPS, é o ponto médio do segmento LM. Agora, se, por absurdo, LM não for paralela a BC podemos conduzir por K uma paralela a BC que cortará AB e AC (semiretas) nos pontos U e V, respectivamente. Daí UMVL seria um paralelogramo! Um contradição. Então LM é paralela a BC e os triângulos ABC e ALM são semelhantes e temos o resultado.

Confira essa questão discutida no fórum Puc-Rio: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200410/msg00240.html

 

SOLUÇÕES

Eu resolvi esse por tangentes. No triângulo ABC de mediana AD, traçamos a altura em relação ao vértice C (corta a reta AB em H) e a altura do triângulo ABD em relação ao vértice D (corta a reta AB em I) BHC e BID são semelhantes pois possuem todos os ângulos iguais. Como BC = 2BD, podemos dizer que BH = 2BI, e vamos chamar a medida BI de x, HC de h, AB de y.

Finalmente, podemos dizer que tg (IAD) = h/[2(y - x)], tg (BAC) = h/(y - 2x), tg (ABC) = h/2x

com essas equações podemos achar uma relação entre as três tangentes que não depende nem de h, nem de x e nem de y, portanto, o ângulo ABC esta determinado unicamente pelos ângulos IAD e BAC, que são iguais para o triângulo PQR e portanto, o ângulo PQR é igual ao ângulo ABC e portanto os triângulos são semelhantes…

Confira a solução discutida no fórum Puc-Rio: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200410/msg00247.html

Ler 687 vezes Última modificação em Segunda, 19 Fevereiro 2018 16:11

Deixe um comentário

Certifique-se de preencher os campos indicados com (*). Não é permitido código HTML.