Quinta, 28 Junho 2018 15:32

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - DETERMINANTE

Escrito por

Mais um tópico sobre uma questão publicada no forum PUC-RIO. Confira o exercício resolvido.

QUESTÃO:

A matriz A = (a_ij) 2005x2005 é tal que a_ij = 0 se i+j é par e a_ij = 1 se i+j é ímpar.

I_2005 é a matriz identidade de ordem 2005.

Calcule det(A + I_2005).

SOLUÇÃO:

A é simétrica real ==> A é diagonalizável

A tem posto 2 ==> A tem apenas dois autovalores não nulos, ambos reais.

Logo, det(A - xI) = -x^2003*(x - k)*(x - h)

Falta achar k e h. Daí é só fazer x = -1.

Dada a forma de A, não é tão do outro mundo procurar um autovetor da forma:

v = (x,y,x,y,....,y,x)^t.

Então Av = (1002y,1003x,1002y,...,1003x,1002y)^t

Av = kv ==> 1002y = kx e 1003x = ky ==>

k = raiz(1002*1003) e h = -k ==>

det(A - xI) = -x^2003*(x^2 - 1002*1003) ==>

det(A + I) = 1*(1 - 1002*1003) = -1005005.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200412/msg00211.html

Ler 62 vezes Última modificação em Sexta, 29 Junho 2018 16:05

Deixe um comentário

Certifique-se de preencher os campos indicados com (*). Não é permitido código HTML.