Sábado, 23 Junho 2018 10:04

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - ÁLGEBRA LINEAR

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Um probleminha de álgebra discutido no forum PUC-RIO.


PROBLEMA:

Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i<>0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito.

(Obs.: A volta tem em qualquer livro de álgebra linear.)

SOLUÇÃO:

IDA (por contrapositiva):

Suponha que J é infinito.

Seja F: V -> K um funcional linear tal que:

F(v) = 1 para cada vetor v da base B (*)

Suponhamos que existam:

um subconjunto finito I de J (digamos, com n elementos - s.p.d.g. podemos supor que I = {1,2,...,n});

e
uma-nupla (a_1, a_2, ..., a_n) de elementos de K, tais que: 

F = SOMA(1<=i<=n) a_i*f_i (**).

Seja r um elemento de J - I.

Por (*), temos que F(v_r) = 1.

Entretanto, para cada i em I, f_i(v_r) = 0, de modo que, por (**), F(v_r) = 0.

Essa contradição mostra que nenhuma combinação linear finita dos f_j é igual a F.

Em outras palavras, {f_j | j pertence a J} nao eh uma base de V*.

Confira essa discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200501/msg00488.html

Ler 38 vezes Última modificação em Segunda, 25 Junho 2018 12:14
Antonio Claudio Lage Buffara

Me descrevo com um engenheiro, empresário e investidor mas com alma de matemático.

O blog é direcionado especialmente aos professores e estudantes de matemática. Tratará não só da matemática em si mas também do ensino da matemática, desde a escola (ensino fundamental) até a universidade.

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