Segunda, 18 Junho 2018 15:00

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBLEMA EUREKA 02

Escrito por

Um estudante enviou a algum tempo um problema sem solução para lista Puc-Rio. Assim, aqui vai a minha solução para problema da Eureka 2 enviado.

PROBLEMA

Com seis varetas se construiu uma peça como a da figura. As três varetas exteriores são iguais entre si. As três varetas interiores são iguais entre si. Deseja-se pintar cada vareta de uma cor só de modo que, em cada ponto de união, as três varetas que chegam tenham cores diferentes. As varetas só podem ser pintadas de azul, branco, vermelho ou verde. 

De quantas maneiras pode-se pintar a peça?

Obs: A figura é bem simples ! Esboce um triângulo equilátero e una o centro desse triângulo com seus vértices.

 6varetascor

SOLUÇÃO

Assim, aqui vai a minha tentativa de solução para o problema da Eureka 2.

Estou supondo que a peça é móvel e totalmente simétrica, de forma que pinturas que diferem umas das outras apenas por uma rotação ou um "flip" são consideradas indistinguíveis.

Chame os vértices de A, B e C e o centro de P.

Chame as cores de 1, 2, 3 e 4.

As varetas interiores podem ser pintadas de Binom(4,3) = 4 maneiras distintas.

Suponha, para fixar ideias, que PA = 1, PB = 2 e PC = 3 (ou seja, PA foi pintada com a cor 1, etc...).

Caso 1:

Um dos lados tem a cor 4.

Esse lado pode ser escolhido de 3 maneiras distintas.

Nesse caso, as cores dos outros dois lados ficam automaticamente determinadas (por exemplo, se AB = 4, entao soh pode ser BC = 1 e AC = 2).

Caso 2:

Nenhum dos lados tem a cor 4.

Nesse caso, as cores também ficam automaticamente determinadas (AB = 3, BC = 1 e AC = 2).

Logo, o número de pinturas distintas é igual a 4*(3+1) = 16.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200501/msg00546.html

Ler 39 vezes Última modificação em Quinta, 21 Junho 2018 19:48
Antonio Claudio Lage Buffara

Me descrevo com um engenheiro, empresário e investidor mas com alma de matemático.

O blog é direcionado especialmente aos professores e estudantes de matemática. Tratará não só da matemática em si mas também do ensino da matemática, desde a escola (ensino fundamental) até a universidade.

Deixe um comentário

Certifique-se de preencher os campos indicados com (*). Não é permitido código HTML.