Segunda, 18 Junho 2018 15:00

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBLEMA EUREKA 02

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Um estudante enviou a algum tempo um problema sem solução para lista Puc-Rio. Assim, aqui vai a minha solução para problema da Eureka 2 enviado.

PROBLEMA

Com seis varetas se construiu uma peça como a da figura. As três varetas exteriores são iguais entre si. As três varetas interiores são iguais entre si. Deseja-se pintar cada vareta de uma cor só de modo que, em cada ponto de união, as três varetas que chegam tenham cores diferentes. As varetas só podem ser pintadas de azul, branco, vermelho ou verde. 

De quantas maneiras pode-se pintar a peça?

Obs: A figura é bem simples ! Esboce um triângulo equilátero e una o centro desse triângulo com seus vértices.

 6varetascor

SOLUÇÃO

Assim, aqui vai a minha tentativa de solução para o problema da Eureka 2.

Estou supondo que a peça é móvel e totalmente simétrica, de forma que pinturas que diferem umas das outras apenas por uma rotação ou um "flip" são consideradas indistinguíveis.

Chame os vértices de A, B e C e o centro de P.

Chame as cores de 1, 2, 3 e 4.

As varetas interiores podem ser pintadas de Binom(4,3) = 4 maneiras distintas.

Suponha, para fixar ideias, que PA = 1, PB = 2 e PC = 3 (ou seja, PA foi pintada com a cor 1, etc...).

Caso 1:

Um dos lados tem a cor 4.

Esse lado pode ser escolhido de 3 maneiras distintas.

Nesse caso, as cores dos outros dois lados ficam automaticamente determinadas (por exemplo, se AB = 4, entao soh pode ser BC = 1 e AC = 2).

Caso 2:

Nenhum dos lados tem a cor 4.

Nesse caso, as cores também ficam automaticamente determinadas (AB = 3, BC = 1 e AC = 2).

Logo, o número de pinturas distintas é igual a 4*(3+1) = 16.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200501/msg00546.html

Ler 57 vezes Última modificação em Quinta, 21 Junho 2018 19:48

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