Sexta, 08 Junho 2018 19:56

CLAUDIO BUFFARA - RESPONDE QUESTÕES PUC-RIO PROBLEMA DE FUNÇÃO PERIÓDICA

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Hoje iremos ver uma resolução de um problema matemático publicado na lista Puc-Rio sobre função periódica.

PROBLEMA

Eu encontrei o seguinte problema: seja f contínua e periódica em R, com período fundamental p>0. Mostre que, se g(x) = f(x^2) também for periódica em R, então: f(2*raiz(p)) = f(0). 

Eu consegui dar uma demonstração um tanto estranha, mas partindo do princípio de que existe esta função g, estou na dúvida. Nas condições dadas, é possível que f(x^2) seja periódica?

SOLUÇÃO

Eu acho que g não pode ser periódica.

Suponha que g seja periódica com período fundamental m > 0.

Então, para todo x real:

g(x+m) = g(x) ⇒ f((x+m)^2) = f(x^2) ⇒ f(x^2 + m*(2x+m)) = f(x^2) ==> m*(2x+m)/p é inteiro para todo x real ⇒ contradição.

 

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200411/msg00043.html

Ler 40 vezes Última modificação em Sexta, 08 Junho 2018 20:12
Antonio Claudio Lage Buffara

Me descrevo com um engenheiro, empresário e investidor mas com alma de matemático.

O blog é direcionado especialmente aos professores e estudantes de matemática. Tratará não só da matemática em si mas também do ensino da matemática, desde a escola (ensino fundamental) até a universidade.

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