Quinta, 08 Fevereiro 2018 16:42

OS DADOS DO PROBLEMA SÃO SUFICIENTES?

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GMAT- acrônimo de Graduate Management Admission Test - é um teste padronizado que a maioria das universidades americanas exige como parte dos requisitos de seleção de candidatos para os programas de pós-graduação em administração de empresas (MBA e Doutorado). Trata-se, portanto, de um teste que é aplicado a alunos que já concluíram, ou estão em vias de concluir, o ensino superior.

O teste consiste em uma redação e em 90 questões de múltipla escolha, as quais são divididas em três seções: Raciocínio Integrado (12 questões), Quantitativa (37 questões) e Verbal (41 questões). As questões da seção Quantitativa são de dois tipos: Resolução de Problemas e Suficiência de Dados. Questões de ambos os tipos aparecem intercaladas no exame. Apesar do nível de escolaridade dos candidatos, as questões exigem apenas conhecimentos de Aritmética, Álgebra e Geometria no nível do ensino médio.

As questões de Resolução de Problemas são bem parecidas com as que aparecem em alguns vestibulares no Brasil. Aqui está um exemplo:

Se 5 é uma das raízes da equação x2 − 2x + k = 12, sendo k uma constante, qual é a outra raiz?

(A) −5 (B) −3 (C) 3 (D) 5 (E) 15

Já as questões de Suficiência de Dados são bem mais interessantes, pois não requerem que o candidato resolva um problema, mas sim que ele decida se as informações fornecidas são ou não suficientes para responder a uma dada pergunta. O formato das questões é sempre o mesmo e consiste em:

  • uma pergunta, que às vezes é precedida pela descrição de alguma situação;
  • duas afirmativas, indicadas por (1) e (2), contendo informações adicionais; e
  • cinco respostas alternativas, das quais o candidato deve escolher uma.

Vejamos um exemplo:

Exemplo1. O valor de n é mais próximo de 50 do que de 75?

(1) 75 – n > n – 50
(2) n > 60

(A) A afirmativa (1) por si só é suficiente, mas a afirmativa (2) por si só não é suficiente.

(B) A afirmativa (2) por si só é suficiente, mas a afirmativa (1) por si só não é suficiente.

(C) Ambas as afirmativas, juntas, são suficientes, mas nenhuma delas por si só é suficiente.

(D) Cada afirmativa, por si só, é suficiente.

(E) As afirmativas (1) e (2), mesmo juntas, não são suficientes.

Como essas cinco alternativas são as mesmas para cada questão de Suficiência de Dados, elas são mencionadas no teste uma única vez. Aqui estão mais alguns exemplos:

Exemplo 2. Qual é o número natural N?

(1) O mínimo múltiplo comum de N e 50 é igual a 100.
(2) O máximo divisor comum de N e 50 é igual a 50.

Exemplo 3. Quantos elementos tem o conjunto finito A?

(1) A tem mais subconjuntos com 3 elementos do que subconjuntos com 9 elementos.
(2) A tem 84 subconjuntos com 6 elementos.

Exemplo 4. José possui apenas moedas de 10 e de 25 centavos. Quantas moedas de 10 centavos ele possui?

(1) José tem 33 moedas no total.
(2) O valor total das moedas do José é R$ 4,35.

Exemplo 5. A fim de produzir uma solução com 20% de álcool, um cientista adiciona x litros de uma solução com 60% de álcool a y litros de uma solução com 10% de álcool. Qual o valor de x?

(1) x + y = 37,5
(2) y = 30

Exemplo 6. Os triângulos ABC e DEF são congruentes?

(1) AB = DE e BC = EF.
(2) Os ângulos  e 

É claro que, quando o objetivo é verificar se os alunos realmente dominam algum tópico, nada substitui uma questão discursiva bem-formulada. No entanto, em exames com milhares de candidatos, tais como o ENEM ou a primeira fase da OBM e da OBMEP, por exemplo, o formato múltipla escolha é inevitável. Nesse caso, a inclusão no exame de questões do tipo Suficiência de Dados permitiria uma avaliação mais completa das habilidades dos candidatos, pois, para responder corretamente a essas questões, um candidato precisa não apenas conhecer o conteúdo, como também ser capaz de raciocinar logicamente, a fim de avaliar a relevância e a suficiência das informações fornecidas.

A seguir, apresentaremos as soluções e respostas dos problemas propostos.


SOLUÇÕES

Questão de Resolução de Problemas

Substituindo x = 5 na equação, obtemos k = − 3. As raízes de x2 − 2x − 15 = 0 são 5 e −3.

Logo, a outra raiz é igual a −3. Alternativa (B).

Exemplo 1

(1) implica que n < 62,5, de modo que, por si só, permite concluir que n é mais próximo de 50 do que de 75. Por outro lado, (2) não permite que se responda à pergunta do enunciado, pois n = 61 (mais próximo de 50) e n = 63 (mais próximo de 75) cumprem a condição. Alternativa (A).

Exemplo 2

MMC(N, 50) = 100 implica que N divide 100, mas não divide 50 (pois, neste caso, o MMC seria igual a 50). Os únicos divisores de 100 que cumprem essa condição são N = 4,N = 20 e N = 100. Logo, (1) por si só não é suficiente para determinar o valor de N.

MDC(N,50) = 50 implica que 50 divide N. Logo, N pode ser igual a 50, 100, 150,…

Assim, (2) por si só também não é suficiente.

Por outro lado, (1) e (2) juntas permitem concluir que N = 100. Alternativa (C).

Exemplo 3

Se n = número de elementos de A, então C(n, k) é o número de subconjuntos de A com kelementos, n ≥ k.

(2) implica que C(n, 6) = 84.

Por inspeção (testando n = 7, 8, 9, ...), achamos que n = 9 cumpre a condição (2). Além disso, como a sequência de números binomiais da forma C(n, 6) é crescente, n = 9 é o único valor que cumpre a condição. Assim, (2) por si só permite responder à pergunta do enunciado.

Por outro lado, a condição (1) é cumprida por mais de um valor de n (por exemplo, trivialmente por qualquer n natural entre 3 e 8, inclusive). Logo, (1) por si só não permite que se responda à pergunta. Assim, a alternativa correta é a (B).

Exemplo 4

Sejam

x = número de moedas de 10 centavos e
y = número de moedas de 25 centavos.

(1) implica x + y = 33 e
(2) implica 10x + 25y = 435.

Certamente (1) por si só não é suficiente, pois há diversas combinações de x e y (portanto, diversos valores distintos de x) cuja soma é 33.

(2) pode ser simplificada para 2x + 5y = 87. Duas soluções inteiras e não negativas dessa equação são (x, y) = (1, 17) e (x, y) = (41, 1). Logo, (2) por si só também não é suficiente.

Por outro lado, (1) e (2) juntas resultam num sistema linear 2 × 2 cuja única solução é (x, y) = (26, 7). Alternativa (C).

Exemplo 5

O enunciado implica 0,6x + 0,1y = 0,2(x + y) ou, simplificando, 6x +y = 2x + 2y, o que leva a y = 4x. Essa condição, juntamente com (1), permite concluir que x = 7,5.

Por outro lado, juntamente com (2), a condição y = 4x implica 4x = 30, que leva a x = 7,5.

Ou seja, cada condição, por si só, é suficiente. Alternativa (D).

Exemplo 6

Se as condições (1) e (2) juntas fossem suficientes para decidir que ABC e DEF são congruentes, esse seria o “caso de congruência ALL”, que sabemos não existir.

Por exemplo, considere o triângulo isósceles BCD com BC = BD e tome um ponto Aexterno ao segmento CD na reta suporte desse segmento, digamos com C entre A e D.

Os triângulos ABC e ABD são tais que AB é comum, BC = BD e  No entanto, os triângulos ABC e ABD não são congruentes, pois AC < AD. Alternativa (E).

Antônio Cláudio Lage Buffara.

Ler 61 vezes Última modificação em Quarta, 11 Abril 2018 20:30
Antonio Claudio Lage Buffara

Me descrevo com um engenheiro, empresário e investidor mas com alma de matemático.

O blog é direcionado especialmente aos professores e estudantes de matemática. Tratará não só da matemática em si mas também do ensino da matemática, desde a escola (ensino fundamental) até a universidade.

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