Segunda, 28 Maio 2018 20:22

CLAUDIO BUFFARA - RESPONDE QUESTÕES PUC-RIO - CONJUNTO DENSO EM R

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No forum PUC-RIO foi postado por um aluno um problema que com pequenas adaptações resolveremos a seguir.

PROBLEMA

Mostre que, para todo real p<>0, o conjunto A = {raiz(n) + m*p | n>=0 e m são inteiros} é denso em R.

SOLUÇÃO

Se p for irracional, recairemos num resultado que já foi muito discutido aqui na lista PUC-RIO.

Pra mim, o interessante é o caso p = 1, que mostra que {raiz(n)} = parte fracionária de raiz(n) é densa em [0,1], um fato que eu desconhecia, mas que não me parece tão absurdo assim.

Sabemos que x(n) = raiz(n) - raiz(n-1) -> 0 quando n -> infinito

Mas raiz(n) - raiz(n-1) = {raiz(n)} - {raiz(n-1)} + [raiz(n)] - [raiz(n-1)].

Tomando a subsequência x(n^2), teremos:

x(n^2) = 1 - {raiz(n^2-1)} -> 0 quando n -> infinito.

Ou seja, a sequência {raiz(n^2-1)} -> 1 quando n -> infinito.

Por outro lado, x(n^2+1) = {raiz(n^2+1)} -> 0 quando n -> infinito.

Ou seja, 0 e 1 são valores de aderência da sequência {raiz(n)}.

Um pouco de reflexão e esforço mental (no banheiro) me fez pensar na sequência:

y(n) = raiz(n^2 + 2*a*n) - n.

Não é difícil ver que y(n) -> a quando n -> infinito.

Além disso, podemos escrever:

y(n) = {raiz(n^2 + 2*a*n)} + [raiz(n^2 + 2*a*n)] - n

Suponhamos que a seja um racional de (0,1], ou seja, a = p/q onde p e q são inteiros positivos e p <= q.

Nesse caso, n^2 + 2*a*n = n^2 + 2*(p/q)*n é inteiro sempre que n for um múltiplo de q e [raiz(n^2 + 2*a*n)] = n. Portanto, concluímos que:

y(q*n) = {raiz(q^2*n^2 + 2*p*n)} -> p/q quando n -> infinito.

Ou seja, todo racional de [0,1] é valor de aderência de {raiz(n)}.

Agora, tome um intervalo qualquer I de [0,1]. Sabemos que I contém, em seu interior, algum racional e que este racional é limite de alguma subsequência de {raiz(n)}. Logo, I conterá todos os termos desta subsequência com índices suficientemente grandes, ou seja, {raiz(n)} é densa em [0,1].

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200412/msg00400.html

Ler 68 vezes Última modificação em Terça, 29 Maio 2018 19:45

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