Quinta, 17 Maio 2018 20:14

QUESTÕES PUC-RIO - PROPORÇÕES DE ÁREA

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Hoje iremos ver a solução de mais um tópico que surgiu no forum PUC-RIO.

DÚVIDA

Imagine uma parábola de uma função f(x)=x^2, simples, agora uma de f(x)=1/100x^2, essa curvatura estará muito aberta ("um bocão"), e agora uma f(x)=100x^2, essa estará bastante fechada ("boquinha fechada"). Sabemos que a imagem das parábolas nos casos anteriores vai de 0 ao infinito. Agora a questão: qual a área hachurada do interior de uma parábola (parte interna - "dentro da boca")? não precisamos calcular pois se a imagem vai ao infinito, diremos que essa área é infinita também, para os três casos citados acima teremos a mesma medida de área: infinito. Até aqui os "cálculos" foram dedutíveis sem fórmulas matemática, apenas uma questão de lógica. Mas vamos olhar o outro lado da parábola, o lado de fora, podemos também hachurar o lado de fora e querermos o valor da área externa... que vamos deduzir como na forma interior que a área externa é infinita, pois bem, agora vamos pensar (que é a questão em si) em proporções.

Qual é a proporção ÁREA int/ÁREA ext de uma parábola dada uma função: f(x)=ax^2 + bx + c ?

Imagine uma função f(x)=1/ax^2 com a, tendendo ao infinito, nesse caso minha "parábola" seria uma reta coincidindo com o eixo x, neste caso ÁREA int/ÁREA ext seria de 50% pois a mesma área que teríamos acima do eixo x seria a mesma debaixo dele, ok, isso é polêmico pois infinito/infinito é indefinido mas visualmente podemos admitir isso, porém em qualquer situação em que 1/a em f(x)=1/ax^2 for menor que infinito nossa proporção tem que ser menor que 50%. Mais qual?

Essa é uma idéia que talvez não tenha argumentos matemático para prová-la (pelo menos eu acho) mas também não existe argumento para provar que a área interna de uma parábola, por exemplo f(x)=x^2, e a área externa seja igual, igual a infinito, visualmente isso não pode ser entendido, tem que existir uma proporção, menor que 50%.

SOLUÇÃO

Que tal reformular da seguinte forma:

Sejam:

a = real positivo arbitrário mas fixo;

A = {(x,y) em R^2 | y > x^2/a};

B = {(x,y) em R^2 | y < x^2/a};

Q(b) = {(x,y) em R^2 | -b < x < b e -b < y < b} onde b > 0;

I(b) = A inter Q(b);

E(b) = B inter Q(b).

Calcule área(E(b))/área(I(b)).

Para b > a^2, teremos:

área (I(b)) = 4*b*raiz(a*b)/3

área (E(b)) = 4b^2 - 4*b*raiz(a*b)/3 ==> área (E(b))/área(I(b)) = 3*b/raiz(a*b) - 1 ==> lim(b -> +inf) área(E(b))/área(I(b)) = +inf ==> lim(b -> +inf) área(I(b))/área(E(b)) = 0.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200412/msg00011.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200412/msg00011.html

Ler 65 vezes Última modificação em Sexta, 18 Maio 2018 13:09

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