DÚVIDA

Alguma ajuda na questão abaixo?

Seja f: X --> X uma função tal que se Y é um subconjunto próprio não vazio de X,

f(Y) não está contida em Y, qualquer que seja Y.

Mostre que X é finito. ( Claro, a recíproca é verdadeira; se X é finito então é possível achar f satisfazendo o enunciado, por exemplo uma função que leve x_i em x_i+1 (i < n) e x_n em x_1, supondo X com n elementos).

SOLUÇÃO

Suponhamos que X seja infinito.

Tome x_1 em X. Sejam x_2 = f(x_1), x_3 = f(x_2), etc...

Se, para algum k, x_k = x_1, então tome Y = {x_1, x_2, ..., x_(k-1)}.

Este Y será tal que f(Y) = Y.

Por outro lado, se todos os x_i forem distintos, tome Y = {x_2, x_3, ...}

Neste caso, Y será um subconjunto próprio de X (já que não contém x_1) e teremos f(Y) = Y - {x_2}, o qual está contido em Y.

Ou seja, se X for infinito, então sempre irá existir um subconjunto próprio Y de X com f(Y) contido em Y.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200409/msg00121.html