DÚVIDA

Como resolvo esse problema? Calcule uma aproximação para ln(2) com precisão de 10^(-3). Tentei usar as fórmulas de McLauren para ln(x + 1) e ln(1 - x) e não deu muito certo... Precisaria de um polinômio de grau gigantesco (999) para aproximar com essa precisão.

Alguém sabe indicar uma função que torne isso possível?

SOLUÇÃO

Que tal usar as expansões de McLaurin de ambas?

Para 0 < x < 1:

ln((1+x)/(1-x)) =

ln(1+x) - ln(1-x) =

= (x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...) + (x + x^2/2 + x^3/3 + x^4/4 + ...) =

= 2*(x + x^3/3 + x^5/5 + x^7/7 + ...)

Agora, (1+x)/(1-x) = 2 ==> x = 1/3 (pertence ao intervalo de convergência)

Assim, ln(2) = 2*(1/3 + 1/81 + 1/1215 + ...) = 0,693 (com 3 casas de precisão).

Espero ter ajudado com a resolução de mais um problema da lista de discussões de matemática - PUC Rio. Fique de olho em nosso blog para mais resoluções de problemas populares. Confira a discussão completa desta questão aqui.