DÚVIDA

É um fato conhecido sobre transformações lineares que os auto-espaços pertencentes a autovalores distintos da transformação são independentes(ou seja, a intersecção de dois quaisquer é o subespaço nulo). Em quais casos estes auto-espaços são ortogonais? Existe alguma condição necessária e suficiente para isso?

Eu acho que se a multiplicidade algébrica dos autovalores for sempre 1 dá para garantir, mas pode haver outros casos…

SOLUÇÃO

Considere T:R^2 -> R^2 dada por: T(x,y) = (x+y,2y).

O polinômio característico de T é x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) os autovalores 1 e 2 têm ambos multiplicidade algébrica 1 e os autoespaços associados são, respectivamente, aqueles gerados por (1,0) e por (1,1), os quais nao sao ortogonais (pelo menos em relação ao produto interno usual de R^2).

Por outro lado, se T for autoadjunto, então acho que autoespaços associados a autovalores distintos são ortogonais, pois se Tv1 = k1v1 e Tv2 = k2v2, onde k1 e k2 são autovalores distintos, então:

(k1 - k2)*<v1,v2> = <k1v1,v2> - <v1,k2v2> = <tv1,v2> - <v1,tv2> = 0

Pois T é autoadjunto (um operador auto-adjunto tem autovalores reais).

Infelizmente, não tenho certeza de se a condição de T ser auto-adjunto também é necessária.

Concluímos, desta vez, um problema da lista de matemática da PUC Rio, sobre auto-espaços. Para mais informações sobre a discussão relacionada a esta questão, clique aqui.