PROBLEMA

Problema simples de P.A. que está me dando um baile:

"As medidas de um triângulo retângulo estão em P.A. Quanto vale o seu perímetro se sua área é 1/6?"

Sabendo que as medidas compõe uma P.A. de tres termos, vem:

catetos: x, x-R e hipotenusa x+R, onde R=RAZÃO

Por Pitágoras temos:

(x+R)^2 = (x-R)^2 + x^2

x^2 + 2xR + R^2 = x^2 - 2xR + R^2 + x^2

x^2 - 4xR = 0

x (x - 4R) = 0

ou x=0 ou x-4R = 0

x-4R = 0 <=> x = 4R (equacao I)

Da relação de área temos:

1/6 = x(x-R) / 2

1/6 = (x^2 - Rx)/2

6x^2 - 6Rx = 2

6x (x-R) = 2 (equação II)

Substituindo (equação I) em (equação II) vem:

6x (x-R) = 2

6(4R) (4R - R) = 2

(24R)(3R) = 2

72R = 2

R = 36 (equação III)

Substituindo (III) em (I):

X=4R

X=4(36)

X=144

Isto configura um ABSURDO, pois os lados seriam X=144, X-R = 108 e X+R=180, que apesar de estarem em P.A. não bate com a área.

SOLUÇÃO

De fato, deveria ser 1/6 = 4R*3R/2 ==> R^2 = 1/36 ==> R = 1/6.

E assim, teremos x = 4R = 2/3 ==> Perímetro = 3x = 2.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200309/msg00026.html