Quarta, 02 Maio 2018 20:09

QUESTÕES PUC-RIO - DEMONSTRAÇÃO DE FUNÇÃO BIJETORA

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Hoje iremos demonstrar um exemplo de função bijetora, dúvida enviada por um estudante do ensino médio no forum PUC-RIO.

Demonstre que f, definida no intervalo 0 < x < s (s > 0) do seguinte modo:

F(x) = (2x - s)/[x(s - x)] é uma função bijetora desse intervalo nos reais.

Notemos que f(x) = [x + (x - s)]/[x(x - s)] = 1/(x - s) + 1/x.1.

Para todo y E R, se y = (2x - s)/[x(s - x)],

Resulta:

y(xs - x^2) = 2x - s -> yx^2 + (2 - ys) x - s = 0.

Fazendo g(x) = yx^2 + (2 - ys)x - s, vem:

a · g(0) = y(-s)

a · g(s) = y(s)

-> ag(0) e ag(s) têm sinais opostos -> existe um x tal que y = (2x´ - s)/[x´(s - x´)] então f é sobrejetora.

DÚVIDA:

Por que g(0) e g(s) são multiplicados por a, por que ela é sobrejetora?

SOLUÇÃO:

Segue uma demonstração de que f é uma bijeção usando apenas álgebra elementar:

f(x) = (2x - s)/[x(s - x)] ==> f(x) = 1/(s-x) - 1/x

A injetividade de f é consequência de (i) abaixo e a sobrejetividade é consequência de (ii) e (iii):

i) Se 0 < a < b < s então f(a) < f(b).

Dem:

0 < a < b < s ==> 0 < s - b < s - a < s e 0 < 1/s < 1/b < 1/a ==> 1/(s-a) < 1/(s-b) e -1/a < -1/b ==> 1/(s-a) - 1/a < 1/(s-b) - 1/b ==> f(a) < f(b)

ii) Se x = s/2 então f(x) = 0.

Dem: óbvia

iii) Dado y real não-nulo, definimos x como sendo:

x = s/2 - 1/y + raiz(s^2/4 + 1/y^2) se y > 0

e

x = s/2 - 1/y - raiz(s^2/4 + 1/y^2) se y < 0.

Então: 0 < x < s e f(x) = y.

Dem:

s > 0 e y <> 0 ==> s/2 + 1/|y| > raiz(s^2/4 + 1/y^2) > max( s/2 , 1/|y| )

Assim:

y > 0 ==> |y| = y ==> x = raiz(s^2/4 + 1/y^2) + s/2 - 1/|y| > 0 

s - x = s/2 + 1/|y| - raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0 ==> x < s

y < 0 ==> |y| = -y ==> x = s/2 + 1/|y| - raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0

s - x = s/2 - 1/|y| + raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0 ==> x < s

Além disso, temos:

x - (s/2 - 1/y) = +/- raiz(s^2/4 + 1/y^2) ==> (x - (s/2 - 1/y))^2 = s^2/4 + 1/y^2 ==> x^2 - 2x(s/2 - 1/y) + s^2/4 - s/y + 1/y^2 = s^2/4 + 1/y^2 ==> x^2 - xs + 2x/y - s/y = 0 ==> (2x - s)/y = xs - x^2 ==>

y = (2x - s)/(xs - x^2) ==> y = (2x - s)/[x(s - x)] ==> y = f(x)

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00507.html

 

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Antonio Claudio Lage Buffara

Me descrevo com um engenheiro, empresário e investidor mas com alma de matemático.

O blog é direcionado especialmente aos professores e estudantes de matemática. Tratará não só da matemática em si mas também do ensino da matemática, desde a escola (ensino fundamental) até a universidade.

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