Quarta, 25 Abril 2018 19:45

QUESTÕES PUC-RIO - CONJUNTOS

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Seguindo a ideia de publicar as dúvidas recebidas de estudantes do forum PUC-RIO com as soluções e dicas relevantes, vamos ao exercício de hoje.

DÚVIDA RECEBIDA NO Forum PUC-RIO:

Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da seguinte maneira:

1) 3 ∈ A;

2) Se x ∈ A e y ∈ A então x + y ∈ A.

Prove que A é o conjunto dos múltiplos de 3.

DÚVIDAS:

1) Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?

2) Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?

3) Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?

4) Posso fazer a demonstração por indução?

SOLUÇÃO:

O máximo que dá pra dizer é que A contém todos os múltiplos positivos de 3, pois:

3 pertence a A ==> 3+3 = 6 pertence a A ==> 6+3 = 9 pertence a A ⇒ etc.

Mais formalmente, por indução, fica:

Seja K o conjunto dos n em N tais que 3n pertence a A.

3 = 3*1 pertence a A ==> 1 pertence a K

Hipótese de indução: 

Suponhamos que n pertence a K, ou seja, 3n pertence a A. Pelo enunciado:

3n + 3 = 3*(n+1) pertence a A ==> n+1 pertence a K

Logo, K = N (estou supondo que 0 não pertence a N).

Mas se, por exemplo:

1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio, pelo enunciado) então: 

A = N (supondo que 0 não é natural) ou então (supondo que 0 é natural) N\{0} está contido em A.

Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que este é <= 3.

Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem que
4 ou 5 pertençam a A.

 Confira a discussão completa em: https://www.mail-archive.com/Este endereço de email está sendo protegido de spambots. Você precisa do JavaScript ativado para vê-lo./msg55351.html

 

 

Ler 36 vezes Última modificação em Quarta, 25 Abril 2018 20:22
Antonio Claudio Lage Buffara

Me descrevo com um engenheiro, empresário e investidor mas com alma de matemático.

O blog é direcionado especialmente aos professores e estudantes de matemática. Tratará não só da matemática em si mas também do ensino da matemática, desde a escola (ensino fundamental) até a universidade.

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