Sexta, 19 Outubro 2018 19:57

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - PROBLEMA INTERESSANTE DE PA

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Na publicação de hoje veremos a resolução de um problema bem interessante publicado na lista PUC-RIO.

DÚVIDA

Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão.

SOLUÇÃO

Condição necessária e suficiente: 0 pertence à PA.

Se 0 pertence à PA, então, de duas uma:

a PA é constante (razão = 0)

ou
a razão será igual ao menor termo positivo.

Em todo caso, os termos da PA serão da forma n*r (r = razão) e, portanto, todo termo será soma de dois termos (por exemplo, n*r = (n-1)*r + 1*r).

Por outro lado, se cada termo é igual a soma de dois outros termos, então, pondo:

a = menor termo não-negativo da PA, temos que, dado um inteiro n, vão existir inteiros x e y tais que:

a + n*r = (a + x*r) + (a + y*r) ==>

a = (n - x - y)*r ==>

r | a ==>

r <= a.

Se r < a, então a - r pertence à PA e é positivo ==>

contradição, pois a é o menor termo não-negativo da PA ==>

r = a ==>

0 = a - r pertence à PA.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200407/msg00026.html

Ler 33 vezes Última modificação em Sexta, 19 Outubro 2018 20:00

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