Segunda, 02 Abril 2018 20:31

QUESTÕES PUC-RIO - TRIÂNGULOS

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Hoje vamos dar sequência à nossa série Puc-Rio onde o tema de debate foi sobre triângulos.

Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana AM = m(a) forma com o lado BC é igual ao ângulo que esta mesma mediana forma com a bissetriz do ângulo A.

Demonstrar:

i. a²= 4bc ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2

ABC não pode ser isósceles, pois nesse caso teríamos AM perpendicular a BC e coincidente com a bissetriz de A. Assim, suponhamos que AB < AC ==> c < b.
Seja P = ponto de interseção da bissetriz interna de BAC com o lado BC.

AM é mediana ⇒ BM = MC = a/2

AP é bissetriz interna ⇒ CP/BP = AC/AB ⇒ CP/BP = b/c

Como BP + PC = BC = a

Teremos:

CP = a*b/(b+c); BP = a*c/(b+c)

PAM = PMA ⇒ Triângulo APM é isósceles ⇒ AP = PM

Levando em conta que BP + PM = BM = a/2

Teremos:

a*c/(b+c) + PM = a/2 ⇒ PM = a*(b-c)/[2*(b+c)] = AP

Agora vamos aplicar o teorema de Stewart:

Primeiro em relação a bissetriz AP:

BC*(AP^2 + BP*PC) = AC^2*BP + AB^2*PC ⇒
a*(a^2*(b-c)^2/[4*(b+c)^2] + a^2*b*c/(b+c)^2) = b^2*a*c/(b+c) + c^2*a*b/(b+c) ==>

(simplificando tudo)

a^2 = 4*b*c

Em seguida, em relação a mediana AM:

BC*(AM^2 + BM*MC) = AC^2*BM + AB^2*MC ==>

a*(m^2 + (a/2)*(a/2)) = b^2*a/2 + c^2*a/2 ==>

m^2 + a^2/4 = (b^2 + c^2)/2 ==>

m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - a^2)/4 ==>

(levando em conta que a^2 = 4*b*c)

m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - 4*b*c)/4 ==>

m^2 = (b - c)^2/2 ==>

m = (b - c)/raiz(2)

Confira essa discussão em: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00667.html

Ler 42 vezes Última modificação em Segunda, 02 Abril 2018 20:45
Antonio Claudio Lage Buffara

Me descrevo com um engenheiro, empresário e investidor mas com alma de matemático.

O blog é direcionado especialmente aos professores e estudantes de matemática. Tratará não só da matemática em si mas também do ensino da matemática, desde a escola (ensino fundamental) até a universidade.

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