Sexta, 05 Outubro 2018 18:28

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO UM PROBLEMA DIFICÍLIMO

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Hoje vamos a um problema matemático compartilhado na lista PUC-RIO.

PROBLEMA

É possível empilhar n tijolos de tal modo que o tijolo de cima não esteja em cima de nenhum ponto do tijolo embaixo de todos, mas uma pessoa pesando 100 tijolos pode ficar no meio do tijolo de cima sem derrubar a pilha?

A propósito, os números de Mersenne 2^p-1 são todos livres de quadrados?

SOLUÇÃO

Sim. Uma ideia é maximizar o deslocamento possível (ou seja, sem que tudo desabe) de cada tijolo em relação ao tijolo que está em cima.

Suponhamos que cada tijolo tenha comprimento 1 e que o centro de massa (cm) do sistema (pessoa + T1) tenha abscissa x(1) = 0.

A borda esquerda de T2 deve então ter abscissa 0 e, de fato, a borda esquerda de cada tijolo deve ter abscissa igual a do centro de massa do sistema formado pela pessoa e por todos os tijolos acima dele.

O cm do sistema (pessoa + T1 + T2) terá abscissa:

x(2) = (101*x(1) + (x(1)+1/2)*1)/102 = x(1) + (1/2)/102

O cm do sistema (pessoa + T1 + T2 + T3) terá abscissa:

x(3) = (102*x(2) + (x(2)+1/2)*1)/103 = x(2) + (1/2)/103

O cm do sistema (pessoa + T1 + ... + Tk) terá abscissa:

x(k) = ((99+k)*x(k-1) + (x(k-1)+1/2)*1)/(100+k) = x(k-1) + 1/2/(100+k).

Ou seja, para k >= 2, x(k) = (1/2)*(1/102 + 1/103 + ... + 1/(100+k))

Como x(k) = metade de uma série harmônica que começa em 1/102, temos que x(k) -> infinito quando k -> infinito

Assim, é só tomar k tal que x(k) > 1/2. A borda esquerda do (k+1)-ésimo tijolo terá abscissa x(k) > 1/2 e, portanto, nenhum ponto desse tijolo estará abaixo de algum ponto do 1o. tijolo.

De fato, é possível (em teoria, claro) que a pessoa esteja a uma distância horizontal arbitrariamente grande do tijolo na base da pilha.

A propósito, os números de Mersenne 2^p-1 são todos livres de quadrados? Não se sabe. O problema está em aberto.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200411/msg00096.html

Ler 46 vezes Última modificação em Sexta, 05 Outubro 2018 18:45

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