Quinta, 04 Outubro 2018 13:23

ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO - NÚMERO ÁUREO

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Vamos a mais uma dúvida publicada na lista PUC-RIO.

DÚVIDA

Consideremos X = {1, 2, 3, 5, 8, 13, ... } os conhecidos números de Fibonacci.

Como demonstrar que lim qd. n tende a infinito quociente entre o termos posterior e o anterior dos números de Fibonacci converge para o número áureo?

Ainda sobre número áureo:

Sabendo que tg (nk) pode ser reescrita em função de 1, tgk, (tgk)^2, ..., (tgk)^n . Prove que os coeficientes que aparecem nesta expressão são obtidos do triângulo de Pascal.

Vale acrescentar que os cartões de crédito foram desenvolvidos baseados na "proporção áurea"

SOLUÇÃO

Consideremos X = {1, 2, 3, 5, 8, 13, ... } os conhecidos números de Fibonacci.

Como demonstrar que lim qd. n tende a infinito quociente entre o termos posterior e o anterior dos números de Fibonacci converge para o número áureo?

O mais óbvio é expressar a solução da recorrência F(n) = F(n-1) + F(n-2) em função de Phi = (1+raiz(5))/2, calcular F(n)/F(n-1) e fazer n tender a infinito.

F(n) = A*Phi^n + B*(-1/Phi)^n, com A e B constantes que dependem das condições iniciais.

De qualquer forma, após simplificar você acha:

F(n)/F(n-1) = (Phi + (B/A)*(-1)^n/Phi^(2n-1))/(1 + (B/A)*(-1)^(n-1)/Phi^(2n-2))

Como Phi > 1, fazendo n -> infinito achamos lim F(n)/F(n-1) = Phi.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200411/msg00003.html

Ler 151 vezes Última modificação em Quinta, 04 Outubro 2018 13:26

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