Sexta, 23 Março 2018 12:13

QUESTÕES PUC-RIO - GEOMETRIA: GEOMETRIA ANALITICA PLANA

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Geometria é uma das matérias mais frequentes em provas de matemática principalmente no Enem e nos vestibulares do país. Por isso, separei para vocês essa questão debatida no forum PUC-RIO.

A demonstração analitica nao é muito difícil, apenas um pouco braçal. Depende apenas de alguns conceitos básicos, tais como coeficientes angulares e a equação da reta normal a uma reta dada passando por um ponto dado.

Para facilitar as contas, escolha um dos vértices do triângulo para a origem do seu sistema de coordenadas e coloque o outro vértice no eixo-x.

Assim, os vértices do triângulo serão:

A = (0,0)
B = (6a,0)
C = (6b,6c)


onde a, b e c são números reais arbitrários.

(o 6 deve-se ao fato de que o baricentro tem coordenadas divididas por 3 e o
circuncentro envolve pontos médios ==> coordenadas divididas por 2)

O baricentro G é o ponto ((0+6a+6b)/3,(0+0+6c)/3) ⇒ G = ( 2a + 2b , 2c ).

O circuncentro T é justamento o ponto de interseção das retas mediatrizes
dos segmentos AB e AC.

A mediatriz de AB é a reta normal a AB passando pelo seu ponto médio:
Ponto médio de AB = (3a,0)
AB coincide com o eixo-x ==>
A normal a AB é paralela ao eixo-y ==>
Equação da normal a AB pelo ponto médio: x = 3a (*)

Mediatriz de AC:

Ponto médio de AC = (3b,3c)
Coeficiente angular de AC = (6c - 0)/(6b - 0) = c/b ==>
Coeficiente angular da normal a AC = -b/c ==>
Equação da normal a AC pelo ponto médio:
y - 3c = (-b/c)(x - 3b) ==>
y = -bx/c + 3(b^2 + c^2)/c (**)

Logo, resolvendo o sistema formado por (*) e (**), teremos:
x = 3a e y = 3(b^2 - ab + c^2)/c ⇒ T = ( 3a , 3(b^2 - ab + c^2)/c )

O ortocentro H é o ponto de encontro das três retas seguintes (na verdade,
como estas três retas são concorrentes, você só precisa calcular o ponto de
interseção de duas delas):
normal a BC passando por A;
normal a AC passando por B;
normal a AB passando por C.

Normal a BC por A:
Coeficiente angular de BC = (6c - 0)/(6b - 6a) = c/(b - a) ==>
Coeficiente angular da normal a BC = -(b - a)/c = (a - b)/c ==>
Equação da reta normal a BC por A:
y - 0 = [(a - b)/c](x - 0) ==>
y = (a - b)x/c (%)

Normal a AB por C:
A normal a AB é paralela ao eixo-y ==>
Equação da reta normal a AB por C:
x = 6b (%%)

Resolvendo o sistema formado por (%) e (%%) obtemos:
x = 6b e y = 6(a - b)b/c ⇒ H = ( 6b , 6(a-b)b/c )

Uma vez achadas as coordenadas de G, T e H, calcule o coeficiente angular
das retas GT e GH:

Coeficiente angular de:
GT = (2c - 3(b^2 - ab + c^2)/c)/(2a + 2b - 3a) = (3ab - 3b^2 - c^2)/(c(2b - a))

Coeficiente angular de:
GH = (2c - 6(a-b)b/c)/(2a + 2b - 6b) =((2c^2 - 6ab + 6b^2)/c)/(2a - 4b) =(3ab - 3b^2 - c^2)/(c(2b - a))

Assim, os coeficientes angulares de GT e GH são iguais. Logo, G, T e H são
colineares.

Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200305/msg00262.html

Ler 119 vezes Última modificação em Quarta, 11 Abril 2018 20:58
Antonio Claudio Lage Buffara

Me descrevo com um engenheiro, empresário e investidor mas com alma de matemático.

O blog é direcionado especialmente aos professores e estudantes de matemática. Tratará não só da matemática em si mas também do ensino da matemática, desde a escola (ensino fundamental) até a universidade.

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